Dal momento che la barra viene scartata perché fuori misura e stimando che la velocità di avanzamento venga dimezzata, si può valutare la penalità di tempo pari a 1,5 volte il tempo di lavorazione.
Le penalità di costo Pc sono quei costi imputabili allo scarto del materiale costituente il pezzo, oppure a quelli per lavorazioni di ripresa o declassamenti al fine di recuperare il pezzo.
Definite queste grandezze, il costo C del singolo pezzo, rapportato al costo dell’operatore al minuto Co, è dato dalla seguente espressione [1, 2]:
C/Co = t ·[1+ta/t + ts/hp + +Ct/Co · hp + (1 – Ra) · (Pt/hp + + Pc/Co · hp)]
dove:t = tempo di lavorazione di un pezzo [min]
ta = tempi ausiliari o passivi [min]
ts = tempo di sostituzione utensile [min]
Ct = costo utensile [lire]
Per una corretta gestione dell’utensile (politica di sostituzione) si deve individuare quel valore della durata utensile (ha) che minimizza il costo: in altri termini individuare il minimo della funzione obiettivo sopra riportata.
L’utilizzo di tale metodo presuppone di avere a disposizione un certo numero di dati sperimentali di durata utensile in base ai quali si possa:
1.individuare mediante test statistici la distribuzione di frequenza che meglio interpreta tali dati;
2.per diversi valori di durata attesa ha (e della corrispondente affidabilità Ra) calcolare il corrispondente costo;
3.individuare la durata per la quale il costo è minimo;
4.determinare, in base al tempo t richiesto per la realizzazione di un pezzo, il numero N di pezzi, lavorati i quali, è necessario sostituire l’utensile (N = ha/t, con arrotondamento a un numero intero).
Un caso pratico
Su una linea di pelatura sono stati condotti dei rilievi di durata degli utensili nel caso di lavorazione di barre (materiale X8CrNi18-9) del diametro D = 50 mm e di lunghezza L = 6 m.
La lavorazione è stata eseguita utilizzando placchette Widia Widalon TK15 e con i seguenti parametri di processo: velocità di taglio v = 106 m/min e avanzamento a = 7,4 mm/giro.
Con tali parametri il tempo di lavorazione di una barra vale
t = L/a · n = 1,2 min.
In tabella 1 sono riportati i valori di durata dei quattro utensili montati sulla testa pelatrice.
Come si può notare, i valori di durata utensili presentano una notevole dispersione che giustifica un approccio probabilistico al problema di sostituzione utensili.
Data la forte dispersione dei dati, si potrebbe obiettare che il numero di dati a disposizione (19) è scarso; tuttavia numerose prove condotte in situazioni simili [1,2] hanno dimostrato che anche con un numero discretamente basso (10 ÷ 15) di dati, gli errori che si commettono in termini di costo sono del tutto trascurabili.
I dati di durata utensile sono stati sottoposti a test statistici; la distribuzione di frequenza che meglio interpreta i dati è risultata essere una
log-normale caratterizzata dai seguenti parametri:
m = 4,018 (media logaritmica)
s2 = 0,1109 (varianza logaritmica)
Tali dati permettono di valutare l’affidabilità Ra corrispondente alla durata programmata ha e la durata produttiva hp associata a tali valori.
Vediamo ora di definire le varie voci che compongono il costo totale.
Il tempo di sostituzione dei taglienti ts è stato valutato pari circa a 5 min.
Per quanto riguarda il costo di sostituzione Ct, bisogna considerare che gli inserti e relativi portautensili sono quattro; supponendo che il costo dell’inserto sia pari a circa 30000 lire (costo da ripartire sui 6 taglienti) e quello del portautensile sia di 150000 lire (costo da ripartire sul numero di cambi tagliente superato il quale il portautenile si può considerare ammortizzato) si ha:
Ct= 4·150000/400 + 4·30000/6 = = 21500 lire
La penalità di tempo, per quanto detto in precedenza, vale Pt = =1,5 · t = 1,5 · 1,2 = 1,8 min.
La penalità di costo può essere calcolata come media ponderata fra i costi di rottamazione e quelli di rilavorazione.
In genere se i lotti sono sufficientemente grandi è possibile formare un fascio di barre scartate e rilavorarlo; in caso contrario le singole barre vengono messe a rottame.
Il costo di rottamazione può essere valutato, per il caso preso in considerazione pari 280000 lire (costo comprensivo delle lavorazioni eseguite prima della pelatura e della pelatura stessa, della materia prima, del mancato margine e della resa di rottamazione).
Il costo di rilavorazione è valutabile intorno alle 100000 lire (costo per la pelatura ripetuta e per la mancata produzione).
Supponendo che nel 50% dei casi sia possibile recuperare gli scarti, le penalità di costo diventano:Pc = 0,5 ·280000 + 0,5 ·100000= = 190000 lire
Noti i vari costi e tempi, nonché i parametri m e s della distribuzione di frequenza, è possibile calcolare, per differenti valori della durata programmata ha, i corrispondenti valori dell’affidabilità, del tempo produttivo e del costo totale per ciascuna barra.
In figura 4 è riportato l’andamento del costo in funzione dell’affidabilità: come si vede esiste un valore (Ra = 0,98) per il quale il costo è minimo.
Lavorando con affidabilità maggiori i costi aumentano in quanto le sostituzioni degli utensili devono essere più frequenti, lavorando con affidabilità minori si fanno risentire maggiormente le penalità di tempo e di costo.
In tabella 2 sono riportati i dati relativi alle condizioni di minimo.
In particolare la durata programmata ottimale vale ha = = 24,9 min e quindi è necessario sostituire gli utensili dopo un numero di barre pelate pari a N = = ha/t = 21 (valore arrotondato ad un numero intero).
Poiché in tali condizioni di programmazione l’affidabilità vale Ra = 0,98, significa che solo il 2% delle barre vedranno un’interruzione della lavorazione dovuta ad un cedimento prematuro degli utensili.
Appendice
Nei problemi tecnologici interessa conoscere la probabilità che ha un utensile di raggiungere una certa durata.
Se consideriamo una distribuzione di frequenza, facilmente individuabile mediante test statistici, l’area sottesa alla curva per un dato valore della durata attesa ha (area tratteggiata) rappresenta la frequenza cumulativa Fa, la probabilità che ha l’utensile di cedere prima di aver raggiunto la durata attesa.
Essendo, per definizione, uguale all’unità l’area sottesa a tutta la curva, la probabilità che ha un utensile di raggiungere la durata ha è pari a Ra = 1 – Fa.
Tale quantità Ra è detta affidabilità ed è rappresentata dall’area non tratteggiata sottesa alla curva.
Opportune tabelle disponibili anche su semplici testi di statistica [3, 4], una volta definiti sia la distribuzione che meglio interpreta i dati sperimentali sia i parametri che la caratterizzano, permettono di definire i valori di Fa e Ra in base a quelli della durata attesa ha.
Bibliografia
[1] Autori Vari, Tecnologia Meccanica, Vol.2, CittàStudi Edizioni, Milano, 1996
[2] Pacagnella R., Giardini C., Bugini A.,
Restelli G., Usura degli utensili: natura stocastica del fenomeno e considerazioni economiche, 6° Convegno Nazionale di Tribologia, Milano, maggio 1992
[3] Kapur K.C., Lamberson L.R., Reliability in Engineering Design, John Wiley & Sons, 1977
[4] Spiegel M., Statistica, Etas Kompass, Collana Schaum, Milano, 1976
Ringraziamenti
Un particolare ringraziamento va rivolto all’ingegner Diego Belotti e all’ingegner Gabriele Muscarnera per il prezioso contributo durante le prove sperimentali.
Roberto Pacagnella è professore ordinario presso il Dipartimento di Meccanica del Politecnico di Milano.
Mario Cusolito è responsabile qualità e prodotto presso la Rodacciai S.p.A.di Bosisio Parini (LC).